Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(3). Der -te Summand (also derjenige Term, der die Potenz mit dem Exponenten beinhaltet) in der Kosinusreihe (die Koeffizienten zu , ungerade, sind ) von ist

wobei wir im letzen Schritt die Indexmenge in gerade und ungerade Zahlen aufgeteilt haben.

Der -te Summand im Cauchy-Produkt von und ist

und der -te Summand im Cauchy-Produkt von und ist

Daher stimmen die beiden Seiten des Additionstheorems im geraden Fall überein.

Bei einem ungeraden Index ist die linke Seite gleich . Da in der Kosinusreihe nur gerade Exponenten vorkommen, kommen im Cauchy-Produkt der beiden Kosinusreihen nur Exponenten der Form mit gerade vor. Da in der Sinusreihe nur ungerade Exponenten vorkommen, kommen im Cauchy-Produkt der beiden Sinusreihen nur Exponenten der Form mit gerade vor. Deshalb kommen Ausdrücke der Form mit ungerade weder links noch rechts vor.

Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(4). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf und aufgrund von (2) ergibt sich