Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(3). Der ${}2n$-te Summand (also derjenige Term, der die Potenz mit dem Exponenten ${}2n$ beinhaltet) in der Kosinusreihe (die Koeffizienten zu ${}x^{i}$, ${}i$ ungerade, sind ${}0$) von ${}x+y$ ist

${}{\begin{aligned}{\frac {(-1)^{n}(x+y)^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\sum _{i=0}^{2n}{\binom {2n}{i}}x^{i}y^{2n-i}\\&=(-1)^{n}\sum _{i=0}^{2n}{\frac {1}{i!(2n-i)!}}x^{i}y^{2n-i}\\&=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {x^{2j}y^{2n-2j}}{(2j)!(2n-2j)!}}+(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {x^{2j+1}y^{2n-2j-1}}{(2j+1)!(2n-2j-1)!}},\end{aligned}}$

wobei wir im letzen Schritt die Indexmenge in gerade und ungerade Zahlen aufgeteilt haben.

Der ${}2n$-te Summand im Cauchy-Produkt von ${}\cos x$ und ${}\cos y$ ist

${}{\begin{aligned}\sum _{j=0}^{n}{\frac {(-1)^{j}(-1)^{n-j}}{(2j)!(2(n-j))!}}x^{2j}y^{2(n-j)}&=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {x^{2j}y^{2(n-j)}}{(2j)!(2(n-j))!}}\\\end{aligned}}$

und der ${}2n$-te Summand im Cauchy-Produkt von ${}\sin x$ und ${}\sin y$ ist

${}{\begin{aligned}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{j}(-1)^{n-1-j}}{(2j+1)!(2(n-1-j)+1)!}}x^{2j+1}y^{2(n-j)+1}&=(-1)^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {x^{2j+1}y^{2(n-1-j)+1}}{(2j+1)!(2(n-1-j)+1)!}}\\\end{aligned}}$

Daher stimmen die beiden Seiten des Additionstheorems im geraden Fall überein.

Bei einem ungeraden Index ist die linke Seite gleich ${}0$. Da in der Kosinusreihe nur gerade Exponenten vorkommen, kommen im Cauchy-Produkt der beiden Kosinusreihen nur Exponenten der Form ${}x^{i}y^{j}$ mit ${}i,j$ gerade vor. Da in der Sinusreihe nur ungerade Exponenten vorkommen, kommen im Cauchy-Produkt der beiden Sinusreihen nur Exponenten der Form ${}x^{i}y^{j}$ mit ${}i+j$ gerade vor. Deshalb kommen Ausdrücke der Form ${}x^{i}y^{j}$ mit ${}i+j$ ungerade weder links noch rechts vor.

Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(4). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf ${}y:=-x$ und aufgrund von (2) ergibt sich

${}{\begin{aligned}1&=\cos 0\\&=\cos \left(x-x\right)\\&=\cos x\cdot \cos \left(-x\right)-\sin x\cdot \sin \left(-x\right)\\&=\cos x\cdot \cos x+\sin x\cdot \sin x.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage