Sinusfunktion/Komplex/Reelle Nullstellen/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist

${}\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.$

Die Bedingung ${}\sin z=0$ führt also auf

${}\exp \left({\mathrm {i} }z\right)=\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\,.$

Nach Fakt sind diese beiden Zahlen invers zueinander, es muss also

${}u=u^{-1}\,$

sein, was auf ${}u=\pm 1$ führt. Es ist also

${}\exp {\mathrm {i} }z=\pm 1\,$

zu untersuchen. Mit

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

führt dies mit Fakt  (1) auf die Bedingung

${}\exp \left({\mathrm {i} }(a+b{\mathrm {i} })\right)=\exp(a{\mathrm {i} }-b)=\exp \left(-b\right){\left(\cos \left(a\right)+{\mathrm {i} }\sin a\right)}=\pm 1\,.$

Dies erfordert einerseits ${}\sin a=0$ und andererseits

${}\exp \left(-b\right)=1\,,$

also nach Fakt ${}b=0$. Also muss

${}z=a\,$

reell sein.

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