Skalarprodukt/Gradient/Einschränkung/Orthogonale Projektion/Aufgabe/Kommentar

Der nach dem Lemma eindeutig bestimmte Vektor hat die Eigenschaft, dass für alle gilt und die Linearform damit vollständig festlegt wird. Für die Einschränkung auf gilt entsprechend

Nun ist eine Linearform zum Vektorraum , sodass nach dem Lemma ein Vektor existieren muss, für den für alle gilt. Für selbst gilt dies nicht, da dieser Vektor nicht in enthalten sein muss. Hier schreiben wir für das induzierte Skalarprodukt auf , um es vom Skalarprodukt auf zu unterscheiden. Es ist nur für Elemente aus definiert.

Da der Vektor eindeutig bestimmt ist, reicht es zu zeigen, dass die orthogonale Projektion von die gewünschte Eigenschaft besitzt. Im Weiteren nehmen wir also an, dass .

Nun können wir einen Vektor definieren mit der Eigenschaft . Anschauchlich bedeutet dies, dass wir in zwei Teile zerlegen: die Projektion auf und den orthogonal dazu stehenden Anteil. Es empfiehlt sich diese Situation zu skizzieren. Tatsächlich gilt nun

unter Ausnutzung der Linearität von und der Eigenschaft, dass . Somit ist und im Kern von . Per Definition der orthogonalen Projektion steht somit orthogonal zu jedem Vektor , also . Schließlich folgt

wobei die Bilinearität des Skalarprodukts eingeht.
Zur kommentierten Aufgabe