Skat/Drei Buben/Vierter Bube/Beispiel

Die drei Freunde Fritz, Fredo und Fitzgeraldo spielen Skat. Spieler Fredo hat von den bereits an ihn verteilten zehn Karten die ersten drei aufgenommen und alles sind Buben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch noch den vierten Buben bekommt? Die einzige Information, die er hat, ist, dass unter den unbekannten ${}32-3=29$ Karten noch ein Bube ist. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch den vierten Buben bekommt, gleich ${}{\frac {7}{29}}$. Dies kann man auch als eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen. Es sei ${}B$ das Ereignis, dass die ersten drei aufgedeckten Karten alle Buben sind, und ${}A$ das Ereignis, dass Fredo alle Buben bekommt. Die Wahrscheinlichkeit von ${}A$ ist nach Beispiel

gleich

${}{\frac {\binom {28}{6}}{\binom {32}{10}}}={\frac {21}{3596}}\,.$

Die Wahrscheinlichkeit für ${}B$ ist

${}{\frac {4\cdot 3\cdot 2}{32\cdot 31\cdot 30}}={\frac {1}{4\cdot 31\cdot 10}}={\frac {1}{1240}}\,.$

Die Wahrscheinlichkeit für ${}A\cap B$ kann man auf unterschiedliche Arten ausrechnen, nämlich als (Wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei Karten nur Buben sind, mal Wahrscheinlichkeit, dass dann noch der vierte Bube kommt)

${}{\frac {1}{1240}}\cdot {\frac {7}{29}}={\frac {7}{35960}}\,$

oder als (Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Buben bei einem Spieler landen, mal die Wahrscheinlichkeit, dass dabei drei bestimmte Karten Buben sind)

${}{\frac {21}{3596}}\cdot {\frac {4\cdot 3\cdot 2}{10\cdot 9\cdot 8}}={\frac {21}{3596}}\cdot {\frac {1}{10\cdot 3}}={\frac {7}{35960}}\,.$

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist jedenfalls

${}P(A{|}B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {\,\,{\frac {7}{35960}}\,\,}{\frac {1}{1240}}}={\frac {7\cdot 124}{3596}}={\frac {7}{29}}\,.$