Spaltenstochastische Matrix/3/Dünn/Eigenvektor und Eigenverteilung/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}X-p&0&r-1\\p-1&X-q&0\\0&q-1&X-r\end{pmatrix}}&=(X-p)(X-q)(X-r)+(p-1)(q-1)(r-1)\\&=X^{3}-(p+q+r)X^{2}+(pq+pr+qr)X-pqr+pqr-(pq+pr+qr)+pqr-1\\&=X^{3}-(p+q+r)X^{2}+(pq+pr+qr)X-(pq+pr+qr)+pqr-1.\end{aligned}}$

Nach Fakt ist ${}1$ ein Eigenwert (was man auch direkt sieht), somit ist ${}X-1$ ein Faktor und man erhält die Zerlegung

${}{\begin{aligned}X^{3}-(p+q+r)X^{2}+(pq+pr+qr)X-(pq+pr+qr)+pqr-1&=(X-1)(X^{2}+(1-(p+q+r))X+pq+pr+qr-pqr+1)\\\end{aligned}}$

Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen sind die Nullstellen des rechten Faktors gleich

${}\lambda _{2}=-{\frac {1-(p+q+r)}{2}}+{\sqrt {{\frac {(1-(p+q+r))^{2}}{4}}-pq+pr+qr+pqr-1}}\,$

und

${}\lambda _{3}=-{\frac {1-(p+q+r)}{2}}-{\sqrt {{\frac {(1-(p+q+r))^{2}}{4}}-pq+pr+qr+pqr-1}}\,,$

wobei die Quadratwurzel eventuell komplex zu verstehen ist.

b) Es geht um den Kern der Matrix

${\begin{pmatrix}1-p&0&r-1\\p-1&1-q&0\\0&q-1&1-r\end{pmatrix}}.$

Bei ${}p=1$ gehört ${}e_{1}$ zum Kern, bei ${}q=1$ gehört ${}e_{2}$ zum Kern, bei ${}r=1$ gehört ${}e_{3}$ zum Kern. Es seien also ${}p,q,r\neq 1$. Ein nichttriviales Element im Kern ist dann

${\begin{pmatrix}(1-q)(1-r))\\(1-p)(1-r)\\(1-p)(1-q)\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe