Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt

Es sei ${}M$ eine spaltenstochastische Matrix. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gibt Eigenvektoren zum Eigenwert ${}1$.
2. Wenn es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind, so gilt für jeden Vektor ${}v\in V$, der sowohl positive als auch negative Einträge besitzt, die Abschätzung

   ${}\mid \mid \!Mv\!\mid \mid _{\rm {sum}}<\mid \mid \!v\!\mid \mid _{\rm {sum}}\,.$

3. Wenn es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind, so ist der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ eindimensional. Es gibt dann einen Eigenvektor, der nur nichtnegative Einträge hat und insbesondere eine eindeutig bestimmte stationäre Verteilung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen