Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Eindimensionaler Eigenraum/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die transponierte Matrix ist zeilenstochastisch und besitzt daher den Eigenvektor ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$ zum Eigenwert ${}1$. Daher besitzt nach Fakt das charakteristische Polynom der transponierten Matrix eine Nullstelle an der Stelle ${}1$ und dies gilt nach Aufgabe dann auch für die ursprüngliche Matrix. Daher besitzt ${}M$ einen Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$.

(2). Es seien nun zusätzlich alle Einträge der ${}k$-ten Zeile positiv und ${}v\in V$ sei ein Vektor mit (mindestens) einem positiven und einem negativen Eintrag. Dann ist

${}{\begin{aligned}\mid \mid \!Mv\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }&=\sum _{i=1}^{n}\vert {(Mv)_{i}}\vert \\&=\sum _{i=1}^{n}\vert {\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}}\vert \\&=\sum _{i\neq k}\vert {\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}}\vert +\vert {\sum _{j=1}^{n}a_{kj}v_{j}}\vert \\&<\sum _{i\neq k}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\vert {v_{j}}\vert +\sum _{j=1}^{n}\vert {a_{kj}v_{j}}\vert \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\vert {v_{j}}\vert \\&=\sum _{j=1}^{n}\vert {v_{j}}\vert {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}\vert {v_{j}}\vert \\&=\mid \mid \!v\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }.\end{aligned}}$

(3). Wie im Beweis zu (2) seien alle Einträge der ${}k$-ten Zeile positiv. Für einen jeden Eigenvektor ${}v$ zum Eigenwert ${}1$ sind nach (2) entweder alle Einträge nichtnegativ oder nichtpositiv. Somit ist für einen solchen Vektor wegen ${}Mv=v$ der ${}k$-te Eintrag ungleich ${}0$. Es seien ${}v,w$ solche Eigenvektoren. Dann gehört auch ${}{\frac {w_{k}}{v_{k}}}v-w$ zum Fixraum. Allerdings ist die ${}k$-te Komponente davon gleich ${}0$ und daher ist es der Nullvektor. Das bedeutet, dass ${}v$ und ${}w$ linear abhängig sind. Somit ist dieser Eigenraum eindimensional. Wegen (2) gibt es einen Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ mit nichtnegativen Einträgen. Durch Normieren sieht man, dass es auch eine stationäre Verteilung gibt.

Zur bewiesenen Aussage