Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/3x3/Eigenraum/1/Beispiel

Wir betrachten die spaltenstochastische ${}3\times 3$-Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{3}}&0\\{\frac {1}{6}}&0&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}},$

bei der alle Einträge der ersten Zeile positiv sind. Nach Fakt gibt es eine eindeutige Eigenverteilung. Um diese zu bestimmen, berechnet man den Kern von

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{3}}&0\\{\frac {1}{6}}&0&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&0\\-{\frac {1}{6}}&0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\,.$

Dieser wird von ${}{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt und die stationäre Verteilung ist

${}{\begin{pmatrix}{\frac {2}{6}}\\{\frac {3}{6}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}\,.$