Stammbruchquadrat/Summe/Bernoulli-Polynome/Fakt/Beweis

Beweis

Fakt für ${}k=1$ besagt

{}B_{2}(t)=t^{2}-t+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2}}}\,,

wobei Konvergenz im Sinne der ${}L^{2}$ -Norm vorliegt. Wegen

{}B_{2}(0)=B_{2}(1)\,

kann man Fakt anwenden, die Konvergenz liegt also auch punktweise vor. Für ${}t=0$ ergibt dies

{}{\frac {1}{6}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,,

also

{}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,.