Stammfunktion/Rationale Funktion in Exponentialfunktion/Fakt/Beweis

Beweis

Bei der Substitution ${}t=\ln s$ ist

${}dt={\frac {1}{s}}ds\,,$

und für die Polynome ${}P{\left(e^{t}\right)}$ und ${}Q{\left(e^{t}\right)}$ ergeben sich

$P{\left(e^{t}\right)}=P{\left(e^{\ln s}\right)}=P(s)\,\,{\text{ und }}\,\,Q{\left(e^{t}\right)}=Q{\left(e^{\ln s}\right)}=Q(s).$

Insgesamt ergibt sich also die rationale Funktion ${}{\frac {P(s)}{sQ(s)}}$. In deren Stammfunktion muss man dann ${}s=e^{t}$ einsetzen.

Zur bewiesenen Aussage