Stammfunktion/Rationale Funktion in trigonometrische Funktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Bei der Substitution ${}t=2\arctan s$ ist ${}s=\tan {\frac {t}{2}}$ und ${}dt={\frac {2}{1+s^{2}}}ds$. Aus den trigonometrischen Funktionen wird unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}\sin t&=\sin \left({\frac {t}{2}}+{\frac {t}{2}}\right)\\&=2\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos {\left({\frac {t}{2}}\right)}\\&=2\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\cdot \cos ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}\\&=2\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\cdot {\frac {\cos ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}}{\cos ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}+\sin ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}}}\\&=2\tan {\left({\frac {t}{2}}\right)}\cdot {\frac {1}{1+\tan ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}}}\\&=2s{\frac {1}{1+s^{2}}}.\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}\cos t&=\cos {\left({\frac {t}{2}}+{\frac {t}{2}}\right)}\\&=\cos ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}-\sin ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}\\&=2\cos ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}-1\\&=2\cdot {\frac {1}{1+\tan ^{2}{\left({\frac {t}{2}}\right)}}}-1\\&=2{\frac {1}{1+s^{2}}}-1\\&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}.\end{aligned}}$

Da sowohl das Differential ${}dt$ als auch die trigonometrischen Funktionen bei dieser Substitution rationale Ausdrücke in ${}s$ sind, liegt nach dieser Substitution insgesamt eine rationale Funktion vor.

Zur bewiesenen Aussage