a) Wir betrachten die Substitution
bzw.
. Damit ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}f(x)\,dx=\int _{}^{}R(x,{\sqrt[{k}]{x}})\,dx=\int _{}^{}R(u^{k},u)\cdot ku^{k-1}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450137d49607e9de6669be56a36615ce12959738)
Dabei ist jetzt
eine rationale Funktion in
, und bei der Multiplikation mit
bleibt dies eine rationale Funktion.
b) Mit der Substitution
bzw.
ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}\,dx=\int _{}^{}{\frac {u+u^{3}}{u^{2}-u}}\cdot 3u^{2}\,du=\int _{}^{}{\frac {3u^{2}+3u^{4}}{u-1}}\,du\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6878af4503e5ab45b92864fb677856816a83c4e4)
Polynomdivision ergibt
-

und daher ist dieses Integral gleich
-

Eine Stammfunktion ist daher
-
Somit ist
-
eine Stammfunktion von
![{\displaystyle {}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}+x}{({\sqrt[{3}]{x}})^{2}-{\sqrt[{3}]{x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d666c32ca0f204a33b3df3d8d34eada45afa4cee)
.