Standard-graduierter Ring/Proj/Affine Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

{}{\begin{aligned}R_{X_{i}}&=K[X_{0},\ldots ,X_{d},X_{i}^{-1}]/{\left(f_{1},\ldots ,f_{s}\right)}\\&=K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{i}}},X_{i},X_{i}^{-1}]/{\left({\frac {f_{1}}{X_{i}^{d_{1}}}},\ldots ,{\frac {f_{s}}{X_{i}^{d_{s}}}}\right)}\\&={\left(K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{i}}}]/{\left({\frac {f_{1}}{X_{i}^{d_{1}}}},\ldots ,{\frac {f_{s}}{X_{i}^{d_{s}}}}\right)}\right)}[X_{i},X_{i}^{-1}].\end{aligned}}

In dieser letzten Beschreibung ist klar, was der Ring in Grad ${}0$ ist.

Wenn man ${}Y_{k}={\frac {X_{k}}{X_{i}}}$ (mit ${}Y_{i}=1$ ) schreibt, so ist

{}{\frac {f_{\ell }}{X_{i}^{d_{\ell }}}}={\frac {\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }}{X_{i}^{d_{\ell }}}}=\sum _{\nu }a_{\nu }Y^{\nu }\,,

und dies ist die Dehomogenisierung von ${}f_{\ell }$ bezüglich der Variablen ${}X_{i}$ .