Standardbasis/R^n/+-/Eigentliche Symmetrien/Formel/Aufgabe/Lösung

Eine (eigentliche oder uneigentliche) Symmetrie von ${}T$ muss jeden Standardvektor ${}e_{i}$ auf einen der Vektoren ${}\pm e_{j}$ abbilden. Damit eine Bijektion vorliegt, muss jeder Index ${}j$ unabhängig vom Vorzeichen genau einmal vorkommen. Da dann stets eine Orthonormalbasis vorliegt, handelt es sich um eine Isometrie. Für ${}e_{1}$ gibt es ${}2n$ Möglichkeiten, für ${}e_{2}$ gibt es ${}2(n-1)$ Wahlmöglichkeiten, da ${}\pm \varphi (e_{1})$ ausgeschlossen ist, u.s.w., sodass es insgesamt ${}2^{n}(n!)$ Symmetrien gibt. Die Determinante einer beschreibenden Matrix ist ${}1$ oder ${}-1$,

und durch Multiplikation einer Spalte mit ${}-1$ kann man erreichen, dass die Determinante ${}1$ wird. Daher ist die Hälfte der Symmetrien eigentlich, und deren Anzahl ist ${}2^{n-1}(n!)$.

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