Standardquadrik/Schnittverhalten/Beispiel

Es sei ein Körper. Im Polynomring betrachten wir die Primideale . Hierbei ist ein Primhauptideal und hat die Höhe und und sind Primideale der Höhe . Die zugehörigen Varietäten und sind affine Ebenen im und haben die Dimension . Wir betrachten die entsprechende Situation im Restklassenring

der die Dimension besitzt. Die Dimensionen der beiden Primideale bzw. der dadurch definierten Ebenen sind nach wie vor , allerdings ist ihre Höhe bzw. Kodimension jetzt . Der Durchschnitt dieser beiden Ebenen ist

also einfach ein Punkt der Kodimension . Der Ring mit den beiden Untervarietäten und liefert also ein Beispiel, das zeigt, dass die Summe der Kodimensionen von Untervarietäten kleiner als die Kodimension ihres Schnittes sein kann. Dabei sind die Untervarietäten glatt, die Gesamtvarietät ist aber eine isolierte Hyperflächensingularität.