Standardquadrik/Schnittverhalten/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Im Polynomring ${}K[X,Y,W,Z]$ betrachten wir die Primideale ${}(XY-ZW)\subset {\mathfrak {p}}=(X,Z),{\mathfrak {q}}=(Y,W)$. Hierbei ist ${}(XY-ZW)$ ein Primhauptideal und hat die Höhe ${}1$ und ${}(X,Z)$ und ${}(Y,W)$ sind Primideale der Höhe ${}2$. Die zugehörigen Varietäten ${}V(X,Z)$ und ${}V(Y,W)$ sind affine Ebenen im ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$ und haben die Dimension ${}2$. Wir betrachten die entsprechende Situation im Restklassenring

${}R=K[X,Y,W,Z]/(XY-ZW)\,,$

der die Dimension ${}3$ besitzt. Die Dimensionen der beiden Primideale bzw. der dadurch definierten Ebenen sind nach wie vor ${}2$, allerdings ist ihre Höhe bzw. Kodimension jetzt ${}1$. Der Durchschnitt dieser beiden Ebenen ist

${}V({\mathfrak {p}})\cap V({\mathfrak {q}})=V({\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}})=V(X,Y,W,Z)=V({\mathfrak {m}})\,,$

also einfach ein Punkt der Kodimension ${}3$. Der Ring ${}R$ mit den beiden Untervarietäten ${}V({\mathfrak {p}})$ und ${}V({\mathfrak {q}})$ liefert also ein Beispiel, das zeigt, dass die Summe der Kodimensionen von Untervarietäten kleiner als die Kodimension ihres Schnittes sein kann. Dabei sind die Untervarietäten glatt, die Gesamtvarietät ${}V(XY-ZW)$ ist aber eine isolierte Hyperflächensingularität.