Standardraum/Multiplikation/K^2/Multiplikative Unterräume/Aufgabe/Lösung

Die Untervektorräume des ${}K^{2}$ sind der Nullraum, die Geraden durch den Nullpunkt und die Gesamtebene. Der Nullraum und die Ebene sind offenbar unter der komponentenweisen Multiplikation abgeschlossen. Eine Gerade durch den Nullpunkt hat entweder die Form

${}x=0\,$

oder

${}y=ax\,$

mit einem ${}a\in K$. Die erstgenannte Gerade (die ${}y$-Achse) ist multiplikativ abgeschlossen, da ja

${}(0,y)\cdot (0,z)=(0,yz)\,$

wieder dazu gehört. Es sei also

${}G={\left\{\left(x,\,y\right)\mid y=ax\right\}}=K\cdot \left(1,\,a\right)\,.$

Die multiplikative Abgeschlossenheit bedeutet, dass für beliebige ${}c,d\in K$ das Produkt

${}c\left(1,\,a\right)\cdot d\left(1,\,a\right)=cd\left(1,\,a^{2}\right)\,$

wieder auf der Geraden liegt. Dies ist genau bei

${}a^{2}=a\,$

der Fall, also bei

${}a(a-1)=0\,,$

was ${}a=0$ oder ${}a=1$

bedeutet. Es sind also auch noch die ${}x$-Achse und die Diagonale unter der Multiplikation abgeschlossen, und keine weiteren Untervektorräume.

Zur gelösten Aufgabe