Stetig/K/Konstant/Identität/Beispiel

Eine konstante Funktion

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto c,$

ist stetig. Zu jedem vorgegeben ${}\epsilon$ kann man hier ein beliebiges ${}\delta$ wählen, da ja ohnehin

${}d(f(x),f(x'))=d(c,c)=0\leq \epsilon \,$

gilt.

Die Identität

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto x,$

ist ebenfalls stetig. Zu jedem vorgegebenen ${}\epsilon$ und kann man hier ${}\delta =\epsilon$ wählen, was zu der Tautologie führt: Wenn ${}d(x,x')\leq \delta =\epsilon$, so ist

${}d(f(x),f(x'))=d(x,x')\leq \epsilon \,.$