Stetige Funktion/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis
Nach dem Zwischenwertsatz
wissen wir, dass das Bild
ein Intervall ist.
Wir zeigen zunächst, dass
(nach oben und nach unten)
beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge in mit
.
Nach Fakt
besitzt eine konvergente Teilfolge. Da abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu . Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie
nach Fakt
nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.
Es sei nun das Supremum von , das es nach
Fakt
gibt. Es gibt nach
Aufgabe
eine Folge in , die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von gibt es eine Folge mit
.
Für diese Folge gibt es
wieder nach Fakt
eine konvergente Teilfolge. Es sei der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit
und daher
.