Stetige Gleichverteilung
Einleitung
BearbeitenDie stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung, kontinuierliche Gleichverteilung oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.
Dichtefunktion
BearbeitenBemerkung
BearbeitenDie Möglichkeit, die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall von 0 bis 1 zu simulieren, bildet die Basis zur Erzeugung zahlreicher beliebig verteilter Zufallszahlen mittels der Inversionsmethode oder der Verwerfungsmethode.
Definition - Stetige Gleichverteilung
BearbeitenEine stetige Zufallsvariable bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall , wenn Dichtefunktion und Verteilungsfunktion gegeben sind als
Visualisierung der Dichtefunktion
BearbeitenVerteilungsfunktion
BearbeitenMit der oben definierten Dichtefunktion erhält man folgenden Verteilungsfunktion:
Visualisierung der Verteilungsfunktion
BearbeitenSchreibweise
BearbeitenAls abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig oder verwendet. In einigen Formeln sieht man auch oder als Bezeichnung für die Verteilung.
Bemerkung - Momente
BearbeitenDie stetige Gleichverteilung ist durch ihre ersten beiden zentralen Momente komplett beschrieben, d. h. alle höheren Momente sind aus Erwartungswert und Varianz berechenbar.
Eigenschaften
BearbeitenWahrscheinlichkeiten
BearbeitenDie Wahrscheinlichkeit, dass eine auf gleichverteilte Zufallsvariable in einem Teilintervall liegt, ist gleich dem Verhältnis der Intervalllängen:
- .
Erwartungswert und Median
BearbeitenDer Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung sind gleich der Mitte des Intervalls :
- .
Varianz
BearbeitenDie Varianz der stetigen Gleichverteilung ist
Standardabweichung und weitere Streumaße
BearbeitenAus der Varianz erhält man die Standardabweichung
- .
Die mittlere absolute Abweichung beträgt , und der Interquartilsabstand ist genau doppelt so groß. Die Gleichverteilung ist die einzige symmetrische Verteilung mit monotoner Dichte mit dieser Eigenschaft.
Variationskoeffizient
BearbeitenFür den Variationskoeffizienten ergibt sich:
- .
Symmetrie
BearbeitenDie stetige Gleichverteilung ist symmetrisch um .
Schiefe
BearbeitenDie Schiefe lässt sich darstellen als
- .
Wölbung und Exzess
BearbeitenDie Wölbung und der Exzess lassen sich ebenfalls geschlossen darstellen als
- bzw.
- .
Momente
Bearbeiten-tes Moment | |
-tes zentrales Moment |
Summe gleichverteilter Zufallsvariablen
BearbeitenDie Summe zweier unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt, falls die Breite der beiden Träger identisch ist. Unterscheiden sich die Trägerbreiten, so ergibt sich eine trapezförmige Verteilung. Genauer:
Zwei Zufallsvariablen seien unabhängig und stetig gleichverteilt, die eine auf dem Intervall , die andere auf dem Intervall . Sei und . Dann hat ihre Summe die folgende Trapezverteilung:
Die Summe von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen auf dem Intervall [0;1] ist eine Irwin-Hall-Verteilung, sie nähert sich der Normalverteilung an (Zentraler Grenzwertsatz).
Eine zuweilen verwendete Methode (Zwölferregel) zur approximativen Erzeugung (standard-)normalverteilter Zufallszahlen funktioniert so: man summiert 12 (unabhängige) auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallszahlen und subtrahiert 6 (das liefert die richtigen Momente, da die Varianz einer U(0,1)-verteilten Zufallsvariablen 1/12 ist und sie den Erwartungswert 1/2 besitzt).
Charakteristische Funktion
BearbeitenDie charakteristische Funktion hat die Form
- ,
wobei die imaginäre Einheit darstellt.
Momenterzeugende Funktion
BearbeitenDie momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist
und speziell für und
Beziehung zu anderen Verteilungen
BearbeitenBeziehung zur Dreiecksverteilung
BearbeitenDie Summe von zwei unabhängigen und stetig gleichverteilten Zufallsvariablen hat eine Dreiecksverteilung.
Beziehung zur Betaverteilung
BearbeitenSind unabhängige auf stetig gleichverteilte Zufallsvariable, dann haben die Ordnungsstatistiken eine Betaverteilung. Genauer gilt
für .
Simulation von Verteilungen aus der stetigen Gleichverteilung
BearbeitenMit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise der Exponentialverteilung mit dem Parameter .
Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen
BearbeitenDie stetige Gleichverteilung lässt sich vom Intervall auf beliebige messbare Teilmengen des mit Lebesgue-Maß verallgemeinern. Man setzt dann
für messbare .
Diskreter Fall
BearbeitenDie Gleichverteilung ist auch auf endlichen Mengen definiert, dann heißt sie diskrete Gleichverteilung.
Beispiel für das Intervall [0, 1]
BearbeitenHäufig wird und angenommen, also betrachtet. Dann ist die Dichtefunktion auf dem Intervall konstant gleich 1 und für die Verteilungsfunktion gilt dort . Der Erwartungswert beträgt dementsprechend , die Varianz und die Standardabweichung , wobei die letztgenannten beiden Werte auch für beliebige Intervalle der Länge 1 gelten. Siehe hierzu auch den obigen Abschnitt Summe gleichverteilter Zufallsvariablen.
Ist eine -verteilte Zufallsvariable, dann ist
-verteilt.
Siehe auch
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 155–156, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
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