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Stetigkeit/R und C/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt
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Seien
f
,
g
:
K
⟶
K
{\displaystyle f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }}
stetige Funktionen
.
Dann sind auch die Funktionen
f
+
g
:
K
⟶
K
,
x
⟼
f
(
x
)
+
g
(
x
)
,
{\displaystyle f+g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)+g(x),}
f
−
g
:
K
⟶
K
,
x
⟼
f
(
x
)
−
g
(
x
)
,
{\displaystyle f-g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)-g(x),}
f
⋅
g
:
K
⟶
K
,
x
⟼
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
,
{\displaystyle f\cdot g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),}
stetig. Für eine Teilmenge
U
⊆
K
{\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {K} }}
, auf der
g
{\displaystyle {}g}
keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
f
/
g
:
U
⟶
K
,
x
⟼
f
(
x
)
/
g
(
x
)
,
{\displaystyle f/g\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)/g(x),}
stetig.
Zum Beweis
,
Alternativen Beweis erstellen