Stochastische Matrix/2/Potenzkonvergenz/Genauigkeit/1/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {6}{7}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}49+14&14+24\\49+84&14+144\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}63&28\\133&158\end{pmatrix}}\,$

und

${}M^{2}={\frac {1}{196}}{\begin{pmatrix}63&28\\133&158\end{pmatrix}}\,,$

die Differenz der Einträge ist ${}{\frac {35}{196}}$ und somit größer als ${}{\frac {1}{50}}$ in der Maximumsnorm (die erste Differenz ist gleich der zweiten Differenz wegen der stochastischen Eigenschaft).

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}63&28\\133&158\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}101\cdot 7&126+456\\192\cdot 7&266+1896\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}707&582\\2037&2162\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}M^{3}={\frac {1}{2744}}{\begin{pmatrix}707&582\\2037&2162\end{pmatrix}}\,,$

die Differenz ist

${}{\frac {125}{2744}}\cong 0,045...>0,02\,$

und daher immer noch größer als ${}{\frac {1}{50}}$ in der Maximumsnorm.

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}^{4}&={\begin{pmatrix}707&582\\2037&2162\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}9023&8398\\29393&30018\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}M^{4}={\frac {1}{38416}}{\begin{pmatrix}9023&8398\\29393&30018\end{pmatrix}}\,,$

die Differenz ist jetzt

${}{\frac {625}{38416}}\cong 0,016...<0,02\,$

und somit kleiner als ${}{\frac {1}{50}}$ in der Maximumsnorm.

Zur gelösten Aufgabe