Stochastische Unabhängigkeit

Unabhängige Ereignisse Bearbeiten

Wir wollen zwei Ereignisse   unabhängig nennen, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit   nicht von   abhängt:  . Wegen der lästigen Voraussetzung   und der fehlenden Symmetrie ziehen wir die folgende Definition vor.

Definition Bearbeiten

Ist   Wahrscheinlichkeitsverteilung auf   und  , dann heißen   und   stochastisch unabhängig, falls gilt:

 

Bemerkungen Bearbeiten

  1. Ist   und   beliebig, dann sind   unabhängig (beachte, dass   ).
  2. Obige Gleichung ist im Fall   äquivalent mit  .
  3. Aus   unabhängig folgt   unabhängig.

Definition Bearbeiten

Erweiterung der vorangegangenen Definition auf   Ereignisse.
Sei   eine Wahrscheinlichkeitsverteiltung auf   und seien  . Dann heißen   (stochastisch) unabhängig, falls für jede nichtleere Teilmenge   gilt

 .

Bemerkung Bearbeiten

Ein Begriff, der in der Stochastik keine Rolle spielt, ist der der paarweisen Unabhängigkeit der  :

 

Daraus folgt nicht notwendigerweise die Unabhängigkeit der  .

Unabhängigkeitskriterium Bearbeiten

Folgende Eigenschaft der   erweist sich als äquivalent zur Definition: Für jede echte, nichtleere Teilmenge   mit   und für jedes   gilt  .

Stochastische Unabhängigkeit (Satz) Bearbeiten

Unabhängigkeitskriterium ist äquivalent zur stochastischen Unabhängigkeit der  .

Beweis - Teil 1 Bearbeiten

Aus der Definition folgt im Fall   sofort

 
 .

Beweis - Teil 2 Bearbeiten

Gilt umgekehrt  , so liefert unter der Voraussetzung

 

die Produktformel

 
  d.h. die Definition.

Gilt   nicht, so zeigt man, dass beide Seiten der Defintion   sind.

Beispiel Bearbeiten

Weißer und schwarzer Würfel. Gegeben  . Die Grundmenge   enthält die Teilmenge   und  ). Die Augenzahl des ersten Würfels liegt in   ( ).   sei die Gleichverteilung auf  . Dann sind   unabhängige Ereignisse.

Produktexperimente, unabhängige Zufallsgrößen Bearbeiten

Erweiterung des Begriffs "Unabhängigkeit" für Ereignisse auf

  • Zufallsexperimente (Wahrscheinlichkeitsräume)
  • Zufallsgrößen

Rückblick Bearbeiten

Seien   und   Wahrscheinlichkeitsräume des "Würfels" und einer "Zahl beim Roulette",  ,   Gleichverteilung auf  ,  ,   Wahrscheinlichkeitsraum "zweier Würfel",  ,   Gleichverteilung auf  . Zeigen Sie, dass

  mit   und  

für alle  ,  .

Dies gibt Anlass zur folgenden Definition.

Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume (Definition) Bearbeiten

Gegeben sind (diskrete) Wahrscheinlichkeitsräume   ...   . Der Wahrscheinlichkeitsraum   mit  ,   definiert auf   mit

 

für alle   heißt Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume   ,  . Dabei ist   die kleinste Sigmaalgebra, die alle Mengen   mit   ...   enthält.

Satz Bearbeiten

Sind   Wahrscheinlichkeitsräume, dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf  , welche mit der Definition von   die obige Definition erfüllt.


Beweis (1) Eindeutigkeit: Bearbeiten

Jede diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf  , welche die Definition erfüllt, besitzt ein und dieselbe Wahrscheinlichkeitsfunktion  , nämlich

 .

Beweis (2.1) Existenz: Bearbeiten

Man definiere die Abbildung   gemäß der Eindeutigkeit, d.h.  .   ist normiert (!), also eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf  , die eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf   definiert.   erfüllt die Definition, denn

Beweis (2.2) Existenz: Bearbeiten

 
 
 

Produktverteilung (Definition) Bearbeiten

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf  , welche die Definition erfüllt, heißt Produktverteiltung, genauer Produkt  , der  .

Bemerkungen (1) Bearbeiten

1. Die einzelnen Faktoren   der Produktverteiltung   (auch Randverteilungen genannt) lassen sich (wie folgt, aus  ) zurückgewinnen:

Ist nämlich  , ( ), so setzt man   und hat

 

Bemerkungen (2) Bearbeiten

2. Spezialfall:
  endlich   ist genau dann die Gleichverteilung auf  , wenn jedes   Gleichverteilung auf   ist.

In der Tat:

  für alle  

(Definition Produkt WKT-Räume)     (obige Bemerkung 1)

  für alle  

Bemerkungen (3) Bearbeiten

3. Ist  , so bildet   ein Modell für die n-fache unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperimentes  . (sogenannte "Produktexperimente")

4. Es gibt viele Möglichkeiten, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf   anders zu definieren, als durch  , so dass immer noch die obige Bemerkung 1 erfüllt ist.

Beispiel (1) Bearbeiten

 ; definiere Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf   durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

  erfüllt nicht die Bemerkung 1, somit ist   keine Produktwahrscheinlichkeit. In der Tat, für   mit   gilt für   Ergebnisse  

 
 

Beispiel (2) Bearbeiten

Der Wahrscheinlichkeitsraum  ,   wie oben beschrieben, steht für das Zufallsexperimen "  identische Wiederholungen", das extreme Gegenteil von "  unabhängige Wiederholungen".

Definition Bearbeiten

Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum   seien die Zufallsgrößen  definiert,  .   heißen (stochastisch) unabhängig, falls

 

für alle  .

Bemerkungen Bearbeiten

1. Für unabhängige   sind die Ereignisse   unabhängig. In der Tat, ist   nicht leer, dann lautet die Definition mit   für   wegen  :

 

2. Die Definition lässt sich auch auf folgende Weisen schreiben:

  •  
  •   jeweils für alle  .

Die letzte Gleichung führt unter Berücksichtigung der Definition der Produktverteilung zu folgendem Satz.

Satz Bearbeiten

Die Zufallsgrößen  , sind genau dann unabhängig, falls

 

(In Worten: Falls die gemeinsame Verteilung der   gleich dem Produkt der Randverteilungen ist.)

Satz Bearbeiten

Sind   unabhängige Zufallsvariablen und  , dann sind die Zufallsvariablen   ebenfalls unabhängig.

Beweis Bearbeiten

Wegen   gilt

 
 
 
 

Sind also die beiden Zufallsvariablen   unabhängig, dann auch die Zufallsvariablen   und auch die Zufallsvariablen  , nicht aber die Zufallsvaraiblen  .

Siehe auch Bearbeiten

Seiten-Information Bearbeiten

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