Strukturen/Homomorphismus/Definition

Homomorphismus

Es sei ${}S$ ein erststufiges Symbolalphabet und ${}M$ und ${}N$ seien ${}S$-Strukturen. Eine Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt ${}S$-Homomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Für jede Konstante ${}c\in S$ ist

   ${}\varphi {\left(c^{M}\right)}=c^{N}\,.$

2. Für jedes ${}n$-stellige Funktionssymbol ${}f\in S$ ist

   ${}\varphi {\left(f^{M}{\left(m_{1},\ldots ,m_{n}\right)}\right)}=f^{N}{\left(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})\right)}\,$

   für alle ${}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$.

3. Für jedes ${}n$-stellige Relationsymbol ${}R\in S$ impliziert die Gültigkeit von

   $R^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n})$

   die Gültigkeit von

   $R^{N}{\left(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})\right)}.$