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Subgraph von Sinus/0 bis pi/Integral zu x und y/Aufgabe/Lösung
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Subgraph von Sinus/0 bis pi/Integral zu x und y/Aufgabe
a) Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist
∫
G
x
d
λ
2
=
∫
0
π
(
∫
0
sin
x
x
d
y
)
d
x
=
∫
0
π
x
sin
x
d
x
=
(
sin
x
−
x
cos
x
)
|
0
π
=
π
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi }(\int _{0}^{\sin x}x\,dy)\,dx\\&=\int _{0}^{\pi }x\sin x\,dx\\&=(\sin x-x\cos x)|_{0}^{\pi }\\&=\pi .\end{aligned}}}
b)
∫
G
y
d
λ
2
=
∫
0
π
(
∫
0
sin
x
y
d
y
)
d
x
=
∫
0
π
(
(
1
2
y
2
)
|
0
sin
x
)
d
x
=
1
2
∫
0
π
sin
2
x
d
x
=
1
4
(
x
−
sin
x
cos
x
)
|
0
π
=
1
4
π
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi }(\int _{0}^{\sin x}y\,dy)\,dx\\&=\int _{0}^{\pi }(({\frac {1}{2}}y^{2})|_{0}^{\sin x})\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}x\,dx\\&={\frac {1}{4}}(x-\sin x\cos x)|_{0}^{\pi }\\&={\frac {1}{4}}\pi .\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe