Symmetrische Matrix/2/Eigenwert/Aufgabe/Lösung

Die Matrix hat die Form

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}}\,.$

Das charakteristische Polynom hat daher die Form

${}\chi _{M}=\det {\left(xE_{2}-{\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}}\right)}=(x-a)(x-d)-b^{2}=x^{2}-(a+d)x+ad-b^{2}\,.$

Wir schreiben dies als

${}{\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}+ad-b^{2}={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}-{\frac {d^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}ad-b^{2}\,.$

Da

${}{\frac {a^{2}}{4}}+{\frac {d^{2}}{4}}-{\frac {1}{2}}ad+b^{2}={\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}+b^{2}\,$

nichtnegativ ist, kann man daraus im Reellen die Quadratwurzel ziehen und das charakteristische Polynom besitzt Nullstellen, die Eigenwerte der Matrix sind.

Zur gelösten Aufgabe