Taylor-Entwicklung/R/Polynom/Einführung/Textabschnitt

Die Taylor-Entwicklung bzw. Taylor-Formel in einer Variablen, die wir im ersten Semester kennengelernt haben (siehe insbesondere Fakt und Fakt), liefert zu einem Punkt und einer gewünschten Ordnung eine optimale Approximation in diesem Punkt einer (hinreichend oft differenzierbaren) Funktion durch ein Polynom, das Taylor-Polynom. Eine entsprechende Aussage gilt auch in mehreren Variablen. Wir beginnen mit einigen Vorbereitungen.

Zu einem Monom ${}x_{1}^{r_{1}}\cdot x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}$ nennt man die Summe

${}\vert {\,r\,}\vert :=\vert {\,(r_{1},\ldots ,r_{n})\,}\vert :=\sum _{j=1}^{n}r_{j}\,$

den Grad des Monoms. Ein Polynom in ${}n$ Variablen,

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\,$

(wobei die Summe endlich ist) lässt sich entlang des Grades der beteiligten Monome anordnen, also

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{d=0}^{e}\left(\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =d}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\right)\,.$

Für jedes ${}k\in \mathbb {N}$ kann man dies auch als

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=T_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})+R_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,$

schreiben mit (${}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$)

$T_{k}(x)=\sum _{d=0}^{k}{\left(\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =d}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,R_{k}(x)=\sum _{d=k+1}^{e}{\left(\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =d}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\right)}.$

Für ${}R_{k}$ gilt dabei

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(x)}\Vert }{\Vert {x}\Vert ^{k}}}=0\,,$

siehe Aufgabe. Bei ${}k=1$ ist

${}T_{1}(x)=a_{(0,\ldots ,0)}+a_{(1,0,\ldots ,0)}x_{1}+\cdots +a_{(0,\ldots ,0,1)}x_{n}\,$

die affin-lineare Approximation von ${}f$ im Punkt ${}0=(0,\ldots ,0)$, und dabei gilt für die Abweichung in der linearen Approximation die Beziehung ${}r(x)={\frac {R_{1}(x)}{\Vert {x}\Vert }}$. Im Allgemeinen liefern die Polynome ${}T_{k}(x)$ bessere Approximationen im Nullpunkt als die lineare Approximation, und mit ${}R_{k}(x)$ kann man die Abweichung kontrollieren. Entscheidend für uns ist, dass man nicht nur für Polynomfunktionen, sondern generell für hinreichend oft differenzierbare Funktionen ${}f$ approximierende Polynome finden und die Abweichung gut kontrollieren kann. Dies ist der Inhalt der Taylor-Formel für Funktionen in mehreren Variablen.