Taylor-Entwicklung/R/Polynom/Einführung/Textabschnitt

Die Taylor-Entwicklung bzw. Taylor-Formel in einer Variablen, die wir im ersten Semester kennengelernt haben (siehe insbesondere Fakt und Fakt), liefert zu einem Punkt und einer gewünschten Ordnung eine optimale Approximation in diesem Punkt einer (hinreichend oft differenzierbaren) Funktion durch ein Polynom, das Taylor-Polynom. Eine entsprechende Aussage gilt auch in mehreren Variablen. Wir beginnen mit einigen Vorbereitungen.

Zu einem Monom nennt man die Summe

den Grad des Monoms. Ein Polynom in Variablen,

(wobei die Summe endlich ist) lässt sich entlang des Grades der beteiligten Monome anordnen, also

Für jedes kann man dies auch als

schreiben mit ()

Für gilt dabei

siehe Aufgabe. Bei ist

die affin-lineare Approximation von im Punkt , und dabei gilt für die Abweichung in der linearen Approximation die Beziehung . Im Allgemeinen liefern die Polynome bessere Approximationen im Nullpunkt als die lineare Approximation, und mit kann man die Abweichung kontrollieren. Entscheidend für uns ist, dass man nicht nur für Polynomfunktionen, sondern generell für hinreichend oft differenzierbare Funktionen approximierende Polynome finden und die Abweichung gut kontrollieren kann. Dies ist der Inhalt der Taylor-Formel für Funktionen in mehreren Variablen.