Taylorpolynom/1 durch Sinus/pi durch 2/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}\sin x=0\,$

genau dann, wenn ${}x$ ein ganzzahliges Vielfaches von ${}\pi$ ist. Der Definitionsbereich ist also ${}\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi$.

b)

c) Nach der Quotientenregel ist

${}f^{\prime }(x)={\frac {-\cos x}{\sin ^{2}x}}\,.$

Weiterhin ist

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&={\frac {\sin ^{3}x+2\sin x\cos ^{2}x}{\sin ^{4}x}}\\&={\frac {\sin ^{2}x+2\cos ^{2}x}{\sin ^{3}x}}\\&={\frac {1+\cos ^{2}x}{\sin ^{3}x}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime \prime }(x)&={\frac {2\cos x{\left(-\sin x\right)}\sin ^{3}x-3{\left(1+\cos ^{2}x\right)}\sin ^{2}x\cos x}{\sin ^{6}x}}\\&=\cos x{\frac {-2\sin ^{2}x-3{\left(1+\cos ^{2}x\right)}}{\sin ^{4}x}}\\&=\cos x{\frac {-5-\cos ^{2}x}{\sin ^{4}x}}\end{aligned}}$

d) Wegen ${}\sin {\frac {\pi }{2}}=1$ und ${}\cos {\frac {\pi }{2}}=0$ ist

${}f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,,$

${}f^{\prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,,$

${}f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,,$

und

${}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,,$

daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ gleich

$1+{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}.$

Zur gelösten Aufgabe