Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis
Beweis
- Zunächst ist natürlich das Produkt ein gemeinsames Vielfaches von und . Es sei also irgendein gemeinsames Vielfaches, also
und .
Nach
Fakt
gibt es im teilerfremden Fall Zahlen
mit
.
Daher ist
ein Vielfaches von .
- Die Existenz von und ist klar. Hätten und einen gemeinsamen Teiler , so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass ein größerer gemeinsamer Teiler von und wäre.
- Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von und . Es sei ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von und . Dann kann man und schreiben. Damit ist und somit ist (bei ; bei ist die Behauptung direkt klar) ein gemeinsames Vielfaches von und . Also ist ein Vielfaches der rechten Seite.
- Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile