Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir führen den Beweis durch Kontraposition. D.h. wir setzen voraus, dass weder ${}a$ noch ${}b$ ein Vielfaches von ${}p$ ist, und müssen zeigen, dass dann auch das Produkt ${}ab$ kein Vielfaches von ${}p$ sein kann. Unter der gegebenen Voraussetzung sind ${}a$ und ${}p$ und ${}b$ und ${}p$ jeweils teilerfremd. Nach Fakt gibt es ganze Zahlen ${}r,s,m,n$ mit

${}ra+sp=1\,$

und

${}mb+np=1\,.$

Daher ist

${}1=1\cdot 1=(ra+sp)(mb+np)=rmab+p(ran+smb+snp)\,.$

Wenn nun ${}p$ ein Teiler von ${}ab$ wäre, so könnte man

${}rmab=pc\,$

schreiben und dann wäre ${}1$ ein Vielfaches von ${}p$, was natürlich nicht der Fall ist.

Zur bewiesenen Aussage