Teilbarkeitstheorie (Z)/Zusammenhang zu Ringhomomorphismus und Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}n$ ein Teiler von ${}m$ ist, so ist ${}m=an$ und daher ist ${}m\in \mathbb {Z} n$ und somit gilt die Idealinklusion ${}\mathbb {Z} m\subseteq \mathbb {Z} n$. Unter dem kanonischen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$

wird also ${}\mathbb {Z} m$ auf null abgebildet und daher gibt es nach dem Satz vom induzierten Homomorphismus einen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow \mathbb {Z} /(n).$

Wenn es umgekehrt einen solchen Ringhomomorphismus ${}\varphi$ gibt, so betrachten wir insgesamt den Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(m){\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\mathbb {Z} /(n).$

Die Gesamtabbildung muss also ${}m$ auf null schicken, d.h. ${}m\mod n=0$, und ${}m$ ist ein Vielfaches von ${}n$.

Für das Beispiel betrachten wir ${}n=4$ und ${}m=2$. In ${}\mathbb {Z} /(4)$ bildet die Menge ${}\{{\bar {0}},{\bar {2}}\}$ eine Untergruppe, die zu ${}\mathbb {Z} /(2)$ isomorph ist, sodass ein injektiver Gruppenhomomorphismus ${}\mathbb {Z} /(2)\rightarrow \mathbb {Z} /(4)$ vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe