Tensorprodukt/Funktorialität im Vektorraum/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,Z$ Vektorräume über ${}K$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einer ${}K$-linearen Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ gibt es eine natürliche ${}K$-lineare Abbildung ${}\varphi \otimes _{K}\operatorname {Id} _{Z}\colon U\otimes _{K}Z\rightarrow V\otimes _{K}Z$.
2. Wenn ${}\varphi$ surjektiv ist, ist auch ${}\varphi \otimes _{K}\operatorname {Id} _{Z}$ surjektiv.
3. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist auch ${}\varphi \otimes _{K}\operatorname {Id} _{Z}$ injektiv.

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