(1). Dies ist ein Spezialfall von
Fakt.
(2). Die Surjektivität der Abbildung
-
ist klar, da die
ein
-Erzeugendensystem
von
bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.
(3). Wegen der Injektivität können wir
-
![{\displaystyle {}U\subseteq V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6542c21e844de4a44c136f2b1ba64925cd590808)
als Untervektorraum auffasen. Eine Basis
,
,
von
können wir zu einer Basis
,
,
mit
von
ergänzen. Sei
,
,
eine Basis von
. Dann ist nach
Fakt
die Familie
,
,
eine Basis von
und
,
,
ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von
ist. Also wird unter
-
eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.