Tensorprodukt/Funktorialität im Vektorraum/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

(2). Die Surjektivität der Abbildung

$U\otimes _{K}Z\longrightarrow V\otimes _{K}Z$

ist klar, da die ${}v\otimes z$ ein ${}K$-Erzeugendensystem von ${}V\otimes _{K}Z$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.

(3). Wegen der Injektivität können wir

${}U\subseteq V\,$

als Untervektorraum auffasen. Eine Basis ${}u_{i}$, ${}i\in I$, von ${}U$ können wir zu einer Basis ${}u_{i}$, ${}i\in J$, mit ${}I\subseteq J$ von ${}V$ ergänzen. Sei ${}z_{\ell }$, ${}\ell \in L$, eine Basis von ${}Z$. Dann ist nach Fakt die Familie ${}v_{j}\otimes z_{\ell }$, ${}(j,\ell )\in J\times L$, eine Basis von ${}V\otimes Z$ und ${}v_{i}\otimes z_{\ell }$, ${}(i,\ell )\in I\times L$, ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von ${}U\otimes Z$ ist. Also wird unter

$U\otimes Z\longrightarrow V\otimes Z$

eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.

Zur bewiesenen Aussage