Tensorprodukt/Mit Dualraum/Linearform/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon {V}^{*}\times V\longrightarrow K,\,(f,v)\longmapsto f(v).$

Da ${}f$ eine Linearform ist, ist ${}\Psi$ linear in der zweiten Komponente. Die Vektorraumstruktur im Dualraum ist durch

${}(af+bg)(v)=af(v)+bg(v)\,$

gegeben, bei fixiertem ${}v$ ist daher ${}\Psi$ auch linear in der ersten Komponente. Somit liegt eine multilineare Abbildung vor. Aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes gibt es eine lineare Abbildung

${\bar {\Psi }}\colon {V}^{*}\otimes V\longrightarrow K,$

und diese bildet ${}f\otimes v$ auf ${}f(v)$ ab.

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