Topologie/Überlagerungen/Abbildungen von Überlagerungen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\phi \colon p^{-1}(x_{0})\to q^{-1}(x_{0})$ eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen. Um diese zu einer Abbildung ${}f\colon E\to F$ von Überlagerungen von ${}X$ zu erweitern, sei ${}E^{\prime }$ eine Wegzusammenhangskomponente von ${}E$. Da ${}X$ nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend ist, ist es auch ${}E$ nach dieser Aussage. Insbesondere ist der topologische Raum ${}E$ die disjunkte Vereinigung seiner Wegzusammenhangskomponenten nach diesem Satz. Zudem ist ${}p^{\prime }\colon E^{\prime }\hookrightarrow E{\xrightarrow {p}}X$ wieder eine Überlagerung. Es reicht also, eine Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ von Überlagerungen anzugeben, die auf ${}p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ mit ${}\phi$ übereinstimmt. Dies geschieht mit Hilfe des Liftungssatzes.

Es sei ${}y_{0}\in p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ und ${}e_{0}=\phi (y_{0})\in q^{-1}(x_{0})\subseteq F$. Der Liftungssatz liefert die Existenz (genau) einer stetigen Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ mit ${}q\circ f=p\vert _{E^{\prime }}$ genau dann, wenn ${}p_{\ast }\pi _{1}(E^{\prime },y_{0})\subseteq q_{\ast }\pi _{1}(F,e_{0})$ gilt. Nach obigem Satz ist ${}p_{\ast }\pi _{1}(E^{\prime },y_{0})=G_{y_{0}}$. Weil ${}\phi$ eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen ist, gilt ${}G_{y_{0}}\subseteq G_{e_{0}}$. Wieder nach obigem Satz ist ${}G_{e_{0}}=q_{\ast }\pi _{1}(F,e_{0})$. Also ist der Liftungssatz anwendbar, und es existiert eine stetige Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ mit ${}q\circ f=p\vert _{E^{\prime }}$, die auf ${}y_{0}$ mit ${}\phi$ übereinstimmt. Nun ist jedes Element in ${}p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ nach obigem Satz von der Form ${}y_{0}\cdot [u]$ für ein ${}[u]\in \pi _{1}(X,x_{0})=G$. Dies impliziert, dass ${}f$ auf ganz ${}p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ mit ${}\phi$ übereinstimmt. Somit ist gezeigt, dass die Abbildung

${}\operatorname {Hom} _{X}(E,F)\to \operatorname {Hom} _{G}(p^{-1}(x_{0}),q^{-1}(x_{0}))\,$

surjektiv ist.

Das obige Argument zeigt, dass die Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ von Überlagerungen von ${}X$ schon durch die Angabe des Bildes eines Punktes eindeutig bestimmt ist. Dies zeigt die Injektivität der Abbildung zusammen mit der universellen Eigenschaft der disjunkten Vereinigung.

Zur bewiesenen Aussage