Topologie/Kompaktheit/Grundbegriffe für Gitterpunktsatz/Textabschnitt

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

$X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$

eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

ist.

Für eine Teilmenge im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist eine Teilmenge ${}T$ genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist (Satz von Heine-Borel).

Die endliche Vereinigung von kompakten Mengen ist kompakt. Abgeschlossene Teilmengen von kompakten Mengen sind wieder kompakt. Zu zwei disjunkten kompakten Mengen ${}X$ und ${}Y$ in einem metrischen Raum ${}Z$ gibt es einen Minimalabstand ${}d$, siehe Aufgabe. D.h. zu je zwei Punkten ${}x\in X$ und ${}y\in Y$ ist ${}d(x,y)\geq d$.