Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine Schleife an . Dann gibt es eine Unterteilung des Intervalls derart, dass . Insbesondere ist . Verbinde mit über einen Weg , der ganz in liegt. Dann ist homotop relativ zu der Schleife, die durch Einfügen von an jeder Stelle entsteht. Letztere ist im Bild der kanonischen Abbildung .

Es sei nun ein Wort im Alphabet , also , wobei Schleife in an . Es sei , und wähle eine Nullhomotopie . Wegen der Kompaktheit von existiert eine Zerlegung von in Rechtecke derart, dass

  1. ,
  2. jeder Punkt aus in höchstens dreien dieser Rechtecke liegt und
  3. die durch die Rechtecke gegebene Unterteilung von feiner ist als die Unterteilung, die durch gegeben ist.

Jeder Weg in von einem Punkt zu einem Punkt liefert eine Schleife in an , nach Komposition mit . Es sei der Weg, der die Rechtecke mit (lexikographische Ordnung) von den übrigen trennt. Um aus jedem Weg ein Wort im Alphabet zu erhalten, wähle zu jeder Ecke in der Unterteilung von mit einen Weg von zu , der

  1. ganz im Schnitt der drei 's liegt, die enthalten, sofern im Innern von liegt, oder,
  2. falls , im Schnitt der zwei 's, die enthalten, mit dem , welches enthält, liegt.

Einfügen von an der Stelle liefert einen zu dem Weg homotopen Weg. Diesen Weg kann man auf verschiedene Arten als Wort im Alphabet interpretieren. Die Variation besteht darin, ein Teilstück, welches ja nach Konstruktion nach abgebildet wird, einmal als Weg in oder als Weg in aufzufassen. Der durch bestimmte Weg ist homotop zu seinem Nachfolger, wobei die Homotopie gerade in liegt - sie ist durch das Rechteck gegeben. Es folgt, dass der vorgegebene Weg im beschriebenen Normalteiler liegt.