Es sei eine Schleife an . Dann gibt es eine Unterteilung
des Intervalls derart, dass
. Insbesondere ist
. Verbinde mit über einen
Weg , der ganz in liegt.
Dann ist homotop relativ zu
der Schleife, die durch Einfügen von an jeder Stelle
entsteht. Letztere ist im Bild der kanonischen Abbildung .
Es sei nun ein Wort im Alphabet
, also
, wobei Schleife in an . Es sei , und
wähle eine Nullhomotopie . Wegen der Kompaktheit von
existiert eine Zerlegung von in Rechtecke derart, dass
- ,
- jeder Punkt aus in höchstens dreien dieser Rechtecke liegt und
- die durch die Rechtecke gegebene Unterteilung
von feiner ist als die Unterteilung, die durch
gegeben ist.
Jeder Weg in von einem Punkt zu einem Punkt liefert
eine Schleife in an , nach Komposition mit .
Es sei der
Weg, der die Rechtecke mit (lexikographische Ordnung)
von den übrigen trennt. Um aus jedem Weg ein Wort
im Alphabet zu erhalten, wähle zu jeder Ecke
in der Unterteilung von mit
einen Weg von zu , der
- ganz im Schnitt der drei 's liegt, die enthalten, sofern
im Innern von liegt, oder,
- falls , im Schnitt der zwei 's,
die enthalten, mit dem ,
welches enthält, liegt.
Einfügen von an der Stelle liefert einen zu dem Weg
homotopen Weg. Diesen Weg kann man auf verschiedene Arten
als Wort im Alphabet interpretieren. Die Variation besteht darin,
ein Teilstück, welches ja nach Konstruktion nach
abgebildet wird, einmal als Weg in oder als Weg in aufzufassen.
Der durch bestimmte Weg ist homotop zu seinem Nachfolger, wobei
die Homotopie gerade in liegt - sie ist durch das Rechteck
gegeben. Es folgt, dass der vorgegebene Weg im beschriebenen Normalteiler liegt.