Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist klar, dass ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf vorliegt. Die Injektivität links ist ebenfalls klar. Zur Exaktheit in der Mitte: Wenn zu einer offenen Menge eine stetige Abbildung die Eigenschaft besitzt, dass die Nullabbildung ist, so liegt das Bild von in . Da die induzierte Topologie von trägt, ist auch die Abbildung stetig. Zur Garbensurjektivität rechts: Es sei ein Punkt und

eine auf einer offenen Umgebung von definierte stetige Abbildung nach . Es sei . Nach Voraussetzung gibt es eine offene Umgebung und einen Schnitt mit . Wir betrachten

Dann ist (eingeschränkt auf ) ein stetiger Schnitt von , der unter auf abgebildet wird.