Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Stetiger geschlossener Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}X$ eine topologische Mannigfaltigkeit, sei ${}c\in H^{1}(X,{\mathbb {K} })$ eine erste Kohomologieklasse in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf ${}X$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$ und sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger geschlossener Weg. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Auswertung ${}\int _{\gamma }c$ ist wohldefiniert.
2. Die Auswertung ist linear in der Kohomologieklasse.
3. Die Auswertung ist additiv bezüglich der Verknüpfung von Wegen.
4. Wenn man den Weg in umgekehrter Richtung durchläuft, so negiert sich die Auswertung.
5. Die Auswertung hängt nur von der Homotopieklasse des Weges ab.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen