Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}X$ kompakt und sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben.  Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in X$ eine offene Umgebung ${}y\in U_{y}$ gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen

${}X=\bigcup _{y\in X}U_{y}\,$

gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung

${}X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}\,.$

 Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch.

Es sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, gibt es nach Aufgabe eine abzählbare Teilmenge ${}J\subseteq I$ mit

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,.$

Wir können ${}J=\mathbb {N}$ annehmen.  Nehmen wir an, dass die Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$ keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere ${}\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}\neq X$ für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ und daher gibt es zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ ein ${}x_{n}\in X$ mit ${}x_{n}\not \in \bigcup _{i=0}^{n}U_{i}$. Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt ${}x$. Da eine Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$ vorliegt, gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit ${}x\in U_{k}$. Da ${}x$ ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in ${}U_{k}$. Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für ${}n\geq k$ die Folgenglieder ${}x_{n}$ nicht zu ${}U_{k}$ gehören.

Zur bewiesenen Aussage