Topologischer Raum/Abzählbare offene Überdeckung/Sigmaendliches Maß/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine Überdeckung aus offenen Mengen, wobei ${}I$ abzählbar sei. Zeige folgende Aussagen.

a) Eine Teilmenge ${}T\subseteq X$ ist genau dann eine Borelmenge, wenn ${}T\cap U_{i}$ eine Borelmenge ist für jedes ${}i\in I$.

b) Ein ${}\sigma$-endliches Maß ${}\mu$ ist durch die Einschränkungen ${}\mu _{i}=\mu {|}_{U_{i}}$ eindeutig bestimmt.

c) Es sei für jedes ${}i\in I$ ein ${}\sigma$-endliches Maß ${}\mu _{i}$ auf ${}U_{i}$ gegeben. Für jedes Paar ${}i,j\in I$ sei

${}\mu _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\mu _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,.$

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes ${}\sigma$-endliches Maß auf ${}X$ mit ${}\mu {|}_{U_{i}}=\mu _{i}$.

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