Topologischer Raum/Garben/Erste Kohomologie/Cech/Verfeinerung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ heißt eine Verfeinerung einer offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{j\in J}V_{j}$, wenn es eine Abbildung ${}\alpha \colon I\rightarrow J$ derart gibt, dass ${}U_{i}\subseteq V_{\alpha (i)}$ gilt.

Es sei nun eine Garbe von kommutativen Gruppen ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}X$ gegeben. Eine Verfeinerung definiert einen Kokettenhomomorphismus

${\check {C}}^{1}({\mathcal {V}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s_{\{j_{1},j_{2}\}}\longmapsto s_{\{i_{1},i_{2}\}},$

wobei die Bildkokette an der Stelle ${}\{i_{1},i_{2}\}$ durch

${}s_{\{i_{1},i_{2}\}}:=s_{\{\alpha (i_{1}),\alpha (i_{2})\}}{|}_{U_{i_{1}}\cap U_{i_{2}}}\,$

definiert ist (bei ${}\alpha (i_{1})=\alpha (i_{2})$ ist dies als ${}0$ zu interpretieren). Diese Abbildung führt Kozykel in Kozykel und Koränder in Koränder über und definiert daher einen Verfeinerungshomomorphismus

${\check {H}}^{1}({\mathfrak {V}},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}}).$

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Es sei ${}U_{i}$, ${}i\in I$, eine offene Überdeckung von ${}X$, die eine Verfeinerung der offenen Überdeckung ${}V_{j}$, ${}j\in J$, sei.

Dann ist die Verfeinerungsabbildung

${\check {H}}^{1}({\mathfrak {V}},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}})$

unabhängig von der Indexabbildung ${}\alpha \colon I\rightarrow J$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Definition

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$. Man bezeichnet

${}{\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}}):=\lim _{{\mathfrak {U}}{\text{ offene Überdeckung von }}X}{\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}})\,$

als die erste Čech-Kohomologie von ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$.

Der (direkte oder induktive) Limes wird hier über alle Čech-Komologien zu Überdeckungen genommen, die untereinander durch die Verfeinerungshomomorphismen miteinander verbunden sind.