Topologischer Raum/Kompakt/R/Stone-Weierstrass/Fakt

Satz von Stone-Weierstrass

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine ${}\mathbb {R}$-Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt.

Dann ist

${}{\overline {T}}=C(X,\mathbb {R} )\,.$

D.h. jede stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus ${}T$ approximieren.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen