Topologischer Raum/Kompakt/R/Stone-Weierstrass/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die stetige Funktion

und ein gegeben. Wegen der Trennungseigenschaft gibt es für je zwei Punkte nach Fakt eine Funktion mit und . Diese seien für jedes Punktepaar gewählt. Wir betrachten zu die offenen Mengen

die enthalten. Wegen und der Kompaktheit von gibt es endlich viele Punkte mit . Wir setzen

diese Funktionen gehören nach Fakt zu . Nach Konstruktion ist

auf ganz . Ferner ist , da dies für jedes der beteiligten gilt. Deshalb gibt es wiederum eine offene Umgebung , auf der

gilt. Es gibt wieder endliche viele Punkte derart, dass die bereits überdecken. Daher gehört wegen Fakt

zu . Es gilt

und somit hat man ein aus der -Umgebung von gefunden.