Topologischer Raum/Komplexe Exponentialsequenz/Stetig/Beispiel

Wir betrachten die kurze exakte Exponentialsequenz

von topologischen Gruppen. Die Exaktheit in der Mitte beruht auf Fakt  (2), die Homomorphieeigenschaft beruht auf der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und die komplexe Exponentialfunktion bildet nach Fakt surjektiv auf ab (sie ist eine Überlagerung). Da es lokal einen Logarithmus gibt, sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt. Somit gibt es zu jedem topologischen Raum eine kurze exakte Garbensequenz

die die (stetige komplexe) Exponentialsequenz heißt. Links steht die lokal konstante Garbe mit Werten in , in der Mitte die Garbe der komplexwertigen stetigen Funktionen und rechts die Garbe der nullstellenfreien komplexwertigen stetigen Funktionen. Wenn man setzt, so ist die globale Auswertung der hinteren Abbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.