Topologischer Raum/Nicht quasikompakt/Filter/Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Dann ist die Menge

${}F={\left\{U\subseteq X{\text{ offen }}\mid X\setminus U{\text{ ist quasikompakt}}\right\}}\,$

ein Filter, der im Fall, dass ${}X$ nicht selbst quasikompakt ist, konsistent ist. Dies beruht darauf, dass die leere Menge quasikompakt ist, dass die Vereinigung von zwei quasikompakten Teilmengen quasikompakt ist und dass abgeschlossene Teilmengen quasikompakter Mengen nach Aufgabe wieder quasikompakt sind.