Topologischer Raum/Normal/Zweierüberdeckung/Diskrete Teilmenge/Randaufspaltung/Aufgabe

Es sei ${}X=U\cup V$ eine offene Überdeckung eines normalen topologischen Raumes ${}X$ und sei ${}D\subseteq U\cap V$ eine in ${}U\cap V$ abgeschlossene Teilmenge. Wir betrachten den Abschluss ${}{\overline {D}}$ von ${}D$ in ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Ein Punkt ${}P\in {\overline {D}}\setminus D$ gehört entweder zu ${}U$ oder zu ${}V$.
2. Die Menge ${}{\overline {D}}\setminus D$ besitzt eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen

   ${}{\overline {D}}\setminus D=F_{1}\cup F_{2}\,$

   mit ${}F_{1}\subseteq U$ und ${}F_{2}\subseteq V$.

3. Es sei nun ${}D$ zusätzlich diskret. Dann besitzt ${}{\overline {D}}$ eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen

   ${}{\overline {D}}=E_{1}\cup E_{2}\,$

   mit ${}E_{1}\subseteq U$ und ${}E_{2}\subseteq V$.

4. Im diskreten Fall besitzt ${}D$ eine Zerlegung

   ${}D=D_{1}\cup D_{2}\,$

   mit ${}{\overline {D_{1}}}=E_{1}$ und ${}{\overline {D_{2}}}=E_{2}$.

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