- Nehmen wir
an. Wegen
und da in abgeschlossen ist folgt aber sofort
.
- Wir setzen
-
und
-
die beiden Mengen sind disjunkt nach Teil (1). Wir zeigen, dass abgeschlossen ist, wobei wir die Offenheit des Komplementes nachweisen. Sei
.
Bei
ist
und ist disjunkt zu nach Teil (1). Es sei also
.
Bei
ist eine offene Umgebung des Punktes, die disjunkt zu ist. Es sei schließlich
.
Dann ist
und diese Menge ist disjunkt zu .
- Zu den disjunkten abgeschlossenen Teilmengen aus Teil (2) gibt es wegen der Normalität auch disjunkte offene Umgebungen
und
.
Wir setzen
-
und
-
Es ist zu zeigen, dass abgeschlossen ist
(für ist das klar).
Es sei
.
Dann ist insbesondere
.
Es sei zuerst
.
Da diskret ist, ist nicht im Abschluss und daher folgt auch
und damit
.
Es sei nun
.
Dann ist
.
Wegen
und der Abgeschlossenheit von folgt
.
- Wir setzen
und
.
Aus
und
-
wegen der Abgeschlossenheit folgt die Aussage.