Es sei eine
topologische Gruppe
und ein
topologischer Raum.
Wir betrachten die Garbe der stetigen Abbildungen nach , also , mit
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Es gibt eine natürliche Inklusion von Garben
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und somit eine
kurze exakte Garbensequenz
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Hierbei ist die Abbildungsgarbe in der Mitte
welk,
da man ja jede Abbildung auf eine größere Menge fortsetzen kann. Daher ist
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nach
Fakt
und somit beginnt die lange exakte Kohomologiesequenz mit
-
Jede erste Kohomologieklasse zu wird also durch ein globales Element der
Quotientengarbe
repräsentiert, und zwei solche Repräsentanten definieren genau dann die gleiche Klasse, wenn ihre Differenz von einer Abbildung von nach herrührt. Wie bei jeder Quotientengarbe wird gemäß
Fakt (1)
ein globales Element durch eine offene Überdeckung
und Schnitte
(also Abbildungen
)
repräsentiert mit der Eigenschaft, dass die Differenzen von der Untergarbe herkommen, also stetige Funktionen auf sind. Ein solches Element rührt nach
Fakt (2)
genau dann von links her
(und geht auf die triviale Kohomologieklasse),
wenn es eine Funktion
mit der Eigenschaft gibt, dass die Differenzen
für alle stetig sind. In diesem Fall ist auf
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Wenn es umgekehrt eine solche Familie von stetigen Funktionen auf gibt, deren Differenzen mit den vorgegebenen Differenzen übereinstimmen, so kann man daraus über
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auf , da dies eine verträgliche Bedingung ist, eine globale Funktion auf definieren. Die erste Kohomologiegruppe der Garbe der stetigen Funktionen ist somit genau dann trivial, wenn es zu jeder Familie mit stetig eine Familie mit stetigen Funktionen und den gleichen Differenzen gibt.