Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}Y$ die disjunkte Vereinigung der ${}U_{i}$. Wir definieren auf ${}Y$ eine Äquivalenzrelation ${}\sim$, wobei wir Punkte ${}x_{i}\in U_{i}$ und ${}x_{j}\in U_{j}$ als äquivalent ansehen, wenn ${}x_{i}\in U_{ij}$, ${}x_{j}\in U_{ji}$ und ${}\varphi _{ji}(x_{i})=x_{j}$ ist. Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind dabei durch die Kozykelbedingung gesichert, siehe Aufgabe. Wir setzen

${}X:=Y/\sim \,$

und versehen ${}X$ mit der Quotiententopologie. Die Verknüpfungen

$U_{i}\longrightarrow Y\longrightarrow X$

sind die ${}\psi _{i}$, und ${}V_{i}$ sind die Bilder dieser Abbildungen. Daher liegen Homöomorphismen ${}\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ vor. Dabei ist zu ${}x\in U_{i}$

${}\psi _{i}(x)\in V_{j}\,$

genau dann, wenn ${}x\in U_{ij}$ ist, da genau in diesem Fall ${}x$ mit ${}\varphi _{ij}(x)$ identifiziert wird. Daher ist ${}\psi _{i}(U_{ij})=V_{i}\cap V_{j}$. Die Kommutativität des Diagramms

${\begin{matrix}U_{ij}&{\stackrel {\varphi _{ji}}{\longrightarrow }}&U_{ji}&\\&\!\!\!\!\!\psi _{i}\searrow &\downarrow \psi _{j}\!\!\!\!\!&\\&&V_{i}\cap V_{j}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

folgt ebenso.

Zur bewiesenen Aussage