Topologisches reelles Vektorbündel/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Existenz eines topologischen Raumes ${}E$ mit den besagten Eigenschaften ergibt sich aus Fakt (zu verkleben sind die offenen Mengen ${}W_{ij}:=E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$) und die Existenz der stetigen Abbildung nach ${}X$ aus Fakt. Dabei gibt es eine wohldefinierte Vektorraumstruktur auf jeder Faser ${}E_{x}$, die von ${}E_{i}$ zu einer beliebigen offenen Umgebung ${}x\in U_{i}$ herrührt. Die Unabhängigkeit beruht darauf, dass für ${}x\in U_{i}\cap U_{j}$ nach Voraussetzung ein Vektorbündelisomorphismus

$\varphi _{ij}\colon E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

vorliegt, der einen Vektorraumisomorphismus

${\left(E_{i}\right)}_{x}\longrightarrow {\left(E_{j}\right)}_{x}$

induziert.

Zur bewiesenen Aussage